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湖南省九校联盟难度(用初中数学破解:八省联考立体几何大题)

2024-09-17 16:14:19 | 年华网

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湖南省九校联盟难度(用初中数学破解:八省联考立体几何大题)

湖南省九校联盟难度

难度较大。
湖南省九校联考是湖南省内知名高中的联合招生考试,难度较大。以数学科目为例,据报道,数学及格人数不到2000人,平均分更是只有41分,大多数人在25分左右。这说明数学科目的难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和较高的解题能力。此外,九校联考的其他科目,如语文、英语、物理、化学等,同样难度较大,需要考生具备全面的知识储备和较高的综合素质。

湖南省九校联盟难度(用初中数学破解:八省联考立体几何大题)

用初中数学破解:2021年八省联考立体几何大题

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 .

(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2,证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.

【解答第1问】
四棱锥有5个顶点和5个面,其中1个四边形,4个三角形,其面角总和 =
总曲率=

【解答第2问】

如图所示,对于平面上的n边形,在多边形内任取一点Q,可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度,所以,这些三角形的内角之和等于: ; 由于在点Q处还有一个 角,所以,n边形的内角之和等于: ,也就是: .

对于多面体的每个面依法炮制,可得三角形的数量 = 棱数 × 2
可得 角的数量 = 面数

按照曲率公式,
总曲率 = 顶点数 - (棱数 - 面数 ) = (顶点数-棱数+面数)

证明完毕.

【回归教材】
多边形的内角和是几何学的一个基本问题,人教版《数学-八年级上册》(第21页)第11章 §11.3.2 的标题即为:《多边形的内角和》
可见,本题考查的属于:基本概念和基本方法。

【提炼与提高】
为什么有好多学生感觉这个题很难?原因在于:它太基本了,在经过大量的、重复性的机械的训练之后,学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题,就无从下手。
为了成功解答本题,考生要过几关:
1)读懂题目,关键是在几分钟内理解一个新的概念:多面体的曲率。
2)掌握多边形内角和公式的推导过程,而不仅仅是结论。
3)经过观察和归纳,得出结论:三角形的数量=棱数×2. 这点并不难,但现实中就是有人做不到。

多年来,中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向:专家们不断强调数学思想和方法;中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。

八省联考数学卷,向大家传递了这样一个信号:命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下,加强对于学生能力的考查,是完全可以做到的。

对于备考的学生和教师来说,我的建议是:
1)多思考,多总结;切忌盲目做题。
2)花点时间读读教科书,包括初中和高中的教科书,会用到的。

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求初中语文数学英语物理化学试题

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数学试题
(2008/06/15)

一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米,用科学记数法表示应为
A. 25.8×104m2 B. 25.8×105m2
C. 2.58×105m2 D. 2.58×106m2
2. 已知 是方程 的一个解,那么 的值是
A. 1 B. 3 C. -3 D. -1
3. 在直角坐标系中,点P(4, )在第一象限内,且OP与 轴正半轴的夹角为60°,则 的值是
A. B. C. -3 D. -1
4. 如图,已知直线AB‖CD,∠C=115°,∠A=25°,则∠E=
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
5. 化简 的结果是
A. B. C. D.
6. 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为 ,则
A. 0°< <90° B. 0°< ≤90°
C. 0°< <90°或90°< <180° D. 0°< <180°
7. 在一次质检抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量分别为(单位:g)
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5g~501.5g之间的概率为
A. B. C. D.
8. 由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如右所示,则该几何体中正方体木块的个数是
A. 6个 B. 5个
C. 4个 D. 3个
9. 以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB边于点E,则ΔADE和直角梯形EBCD周长之比为
A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:7
10. 如图,记抛物线 的图象与 正半轴的交点为A,将线段OA分成n等份,设分点分别为P1,P2,…,Pn-1,过每个分点作 轴的垂线,分别与抛物线交于点Q1,Q2,…,Qn-1,再记直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,…的面积分别为S1,S2,…,这样就有 , ,…;记W=S1+S2+…+Sn-1,当n越来越大时,你猜想W最接近的常数是
A. B. C. D.

二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案。
11. 写出一个比-1大的负有理数是_____;比-1大的负无理数是_____
12. 在RtΔABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是__________和__________;并写出它们的面积比_________
13. 小张根据某媒体上报道的一张条形统计图(如右),在随笔中写道:“……今年在我市的中学生艺术节上,参加合唱比赛的人数比去年激增……”。小张说得对不对?为什么?请你用一句话对小张的说法作个评价:
______________________________________
14. 从1至9这9个自然数中任取一个,是2的倍数或是3的倍数的概率是________
15. 如图,大圆O的半径OC是小圆O1的直径,且有OC垂直于⊙O的直径AB。⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E,切点为D。已知⊙O1的半径为r,则AO1=________;DE_________
16. 如图,一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形,那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是________________________

三、全面答一答(本题有8个小题,共66分)
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17.(本小题满分6分)
课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几头(只)?
如果假设鸡有 只,兔有 只,请你列出关于 , 的二元一次方程组,并写出你求解这个方程组的方法。

18.(本小题满分6分)
如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,
(1)请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象,用直线段连接起来;
(2)当容器中的水恰好达到一半高度时,请在各函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置。

19.(本小题满分6分)
在凸多边形中,四边形有2条对角线,五边形有5条对角线,经过观察、归纳,你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条?简单扼要地写出你的思考过程。

20.(本小题满分8分)
如图,已知∠α,∠β,用直尺和圆规求作一个∠γ,使得
(只须作出正确图形,保留作图痕迹,不必写出作法)

21.(本小题满分8分)
据2008年5月14日钱江晚报“浙江人的买车热情真是高”报道,至2006年底,我省汽车保有量如下图1所示,其中私人汽车占汽车总量的大致比例可以由下表进行统计(单位:万辆):
年度 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
汽车总数 70 90 105 135 170
私人汽车 25 30 75 135 175
私人汽车占总量比例 35.7% 33.3% 55.6%
(1)请你根据图1直方图提供的信息将上表补全;
(2)请在下面图2中将私人汽车占汽车总量的比例用折线图表示出来

22.(本小题满分10分)
为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系为 ( 为常数)。如图所示,据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围;
(2)据测定,当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?

23.(本小题满分10分)
如图,在等腰ΔABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F。
(1)证明:∠CAE=∠CBF;
(2)证明:AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记ΔABC和ΔABG的面积分别为SΔABC和SΔABG,如果存在点P,能使SΔABC=SΔABG,求∠C的取值范围。

24.(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)。平移二次函数 的图象,得到的抛物线F满足两个条件:①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(∣OB∣<∣OC∣),连结A,B。
(1)是否存在这样的抛物线F,使得 ?请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ‖BC,且tan∠ABO= ,求抛物线F对应的二次函数的解析式。

数学参考答案及评分标准
一. 选择题(每小题3分, 共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C A D B C D C
二. 填空题(每小题4分, 共24分)
11. ; 等, 答案不惟一
12. ; 9:16 或 ; 9:25 或 ; 16:25
13. 说得不对, 不光看图象, 要看到纵坐标的差距不是很大.
14. 15. 16. 4或7或9或12或15
三. 解答题(8小题共66分)
17. (本题6分)
方程组如下: , --- 4分
可以用代入消元和加减消元法来解这个方程组. --- 2分
18. (本题6分)
(1) 对应关系连接如下: --- 4分

(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时, 函数关系图上 的位置如上: --- 2分
19. (本题6分)
凸八边形的对角线条数应该是20. --- 2分
思考一: 可以通过列表归纳分析得到:
多边形 4 5 6 7 8
对角线 2 2+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+6
思考二: 从凸八边形的每一个顶点出发可以作出5(8-3)条对角线, 8个顶点共40条, 但其一条对角线对应两个顶点, 所以有20条对角线. --- 4分
(如果直接利用公式: 得到20而没有思考过程, 全题只给3分)
20. (本题8分)
作图如下, 即为所求作的 .
--- 图形正确4分,
痕迹2分, 结论2分
21. (本题8分)
(1) 补全表格: --- 4分
年度 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
汽车总数 70 90 105 135 170 200 250
私人汽车 25 30 50 75 100 135 175
私人汽车占总量比例 35.7% 33.3% 47.6% 55.6% 58.8% 67.5% 70%

(2) 折线图: --- 4分
22. (本题10分)
(1) 将点 代入函数关系式 , 解得 , 有
将 代入 , 得 , 所以所求反比例函数关系式为 ;--3分
再将 代入 , 得 ,所以所求正比例函数关系式为 .
--- 3分
(2) 解不等式 , 解得 ,
所以至少需要经过6小时后,学生才能进入教室. --- 4分

23. (本题10分)
(1) ∵△ 是等腰△, 是底边上的高线,∴ ,
又∵ , ∴△ ≌△ ,
∴ , 即 ; --- 3分
(2) ∵ , , ,
∴△ ≌△ ,∴ ; --- 3分
(3) 由(2)知△ 是以 为底边的等腰△,∴ 等价于 ,
1)当∠ 为直角或钝角时,在△ 中,不论点 在 何处,均有 ,所以结论不成立;
2)当∠ 为锐角时, ∠ ,而 ,要使 ,只需使∠ =∠ ,此时,∠ 180°–2∠ ,
只须180°–2∠ ∠ ,解得 60° ∠ 90°. --- 4分
(也可在 中通过比较 和 的大小而得到结论)

24. (本题12分)
(1) ∵ 平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 ,
∴ 抛物线 对应的解析式为: . --- 2分
∵ 抛物线与x轴有两个交点,∴ . --- 1分
令 , 得 , ,
∴ )( )| ,
即 , 所以当 时, 存在抛物线 使得 .-- 2分
(2) ∵ , ∴ , 得 : ,
解得 . --- 1分
在 中,
1) 当 时,由 , 得 ,
当 时, 由 , 解得 ,
此时, 二次函数解析式为 ; --- 2分
当 时, 由 , 解得 ,
此时,二次函数解析式为 + + . --- 2分
2) 当 时, 由 , 将 代 , 可得 , ,
(也可由 代 , 代 得到)
所以二次函数解析式为 + – 或 . --- 2分

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